Vamos traduzir os termos do enunciado.

Ele nos dá a definição de um conjunto:

𝐴𝑘 = {𝑗 ∈ ℕ:𝑗 ≤ 𝑘 𝑒 𝑚𝑑𝑐(𝑗, 𝑘) = 1}

Esse conjunto está em função de 𝑘, e seus elementos são os números naturais (𝑗 ∈ ℕ) menores ou iguais a 𝑘 (𝑗 ≤ 𝑘) e 𝑚𝑑𝑐(𝑗, 𝑘) = 1, isto é, 𝑗 e 𝑘 são primos entre si.

Vamos ao primeiro conjunto:

𝐴₃ = {𝑗 ∈ ℕ:𝑗 ≤ 3 𝑒 𝑚𝑑𝑐(𝑗, 3) = 1}

Os elementos desse conjunto são os números naturais menores ou iguais a 3 e estes números são primos em relação ao número 3 (𝑚𝑑𝑐(𝑗, 3) = 1). Logo, os elementos não podem ser múltiplos de 3. Os números naturais que satisfazem essa condição são: 1 e 2. Logo:

𝐴₃ = {1, 2}

A questão pede para verificar a sequência (𝑛(𝐴₃), 𝑛(𝐴₉), 𝑛(𝐴₂₇), 𝑛(𝐴₈₁)).

O número de elementos de 𝐴₃ é 𝑛(𝐴₃) = 2.

Podemos continuar com o mesmo raciocínio e encontrar todos os elementos de cada conjunto. Mas a questão pede apenas o número de elementos desses conjuntos. Vamos economizar nosso tempo e encontrar um modo de calcular diretamente o número de elementos de cada conjunto.

Perceba que o número de elementos totais sem a restrição 𝑚𝑑𝑐(𝑗, 𝑘) = 1 é 𝑘 (da definição 𝑗 ∈ ℕ,𝑗 ≤ 𝑘). Agora, impondo a restrição no conjunto, temos que remover os elementos não primos em relação a 𝑘. A sequência pedida possui 𝑘 potências de 3 (𝐴₃, 𝐴₉, 𝐴₂₇, 𝐴₈₁). Então os elementos que não satisfazem a condição 𝑚𝑑𝑐(𝑗, 𝑘) = 1 são os números múltiplos de 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … )

Vamos calcular o número de elementos de 𝐴₉. Os múltiplos de 𝑘 = 9 são 3, 6, 9, então o número de elementos de 𝐴₉ será 9 − 3 (9 devido à 𝑘 = 9 e 3 devido aos múltiplos de 3).

𝑛(𝐴₉) = 9 − 3 = 6

Note que a cada 3 números naturais, devemos remover 1 número (múltiplo de 3). Então o número de elementos não primos pode ser dado pelo número 𝑘/3.

Usando esse raciocínio:

𝑛(𝐴₂₇) = 27 − (27/3) = 27 − 9 = 18

𝑛(𝐴₈₁) = 81 − (81/3) = 81 − 27 = 54

Dessa forma, encontramos a sequência:

(𝑛(𝐴₃), 𝑛(𝐴₉), 𝑛(𝐴₂₇), 𝑛(𝐴₈₁))

(2, 6, 18, 54)

Essa sequência é uma progressão geométrica de razão 𝑞 = 6/2 = 3.

Gabarito: Progressão geométrica de razão 𝟑.