GABARITO: ALTERNATIVA D.

Para analisar a função 𝑓 vamos construir o seu gráfico. Para isso, sabemos que o gráfico será composto de uma reta 𝑥 − 3/2 para 𝑥 ≤ 1 e de uma parábola para 𝑥 > 1. Entretanto, vamos calcular o ponto de vértice da parábola, para sabermos se nesse intervalo (𝑥 > 1) a função quadrática 𝑥²/2 − 𝑥 é estritamente crescente ou não:

Portanto, como o ponto de mínimo da parábola é 𝑥 = 1, significa que para 𝑥 > 1 a função quadrática é crescente, pela própria definição de ponto mínimo. Também no intervalo anterior 𝑥 ≤ 1, a função (𝑥 − 3/2)é uma reta com coeficiente angular positivo, o que implica que também é crescente. Portanto, a função é estritamente crescente para toda a reta real. Assim, a alternativa a) e a alternativa b) são corretas, uma vez que a injetividade é garantida pelo fato da função ser sempre crescente. Vejamos o gráfico da função 𝑓 para anular eventuais dúvidas:

A parte do gráfico que está na área em azul é o gráfico da nossa função 𝑓. Perceba que é uma reta para 𝑥 ≤ 1 e uma parábola para 𝑥 > 1. Portanto, vemos graficamente que a função é crescente e injetora, e que seu conjunto imagem é todo o conjunto dos reais. Isso implica que a função é também sobrejetora, e por isso, admite inversa. Vamos calcular qual é a função inversa de 𝑓: sabemos que para fazer isso, basta chamarmos o 𝑥 da expressão de 𝑓 de 𝑦 da 𝑓⁻¹ e o 𝑦 da 𝑓 de 𝑥 da 𝑓⁻¹. Assim, na 𝑓:

Assim, na 𝑓⁻¹:

Por Bhaskara e sabendo que 𝑦 > 1nesse caso:

𝑦 = [2 + √(4−4(−2𝑥))]/2 = 1 + √(1 + 2𝑥)

Portanto, temos a inversa de 𝑓:

Portanto, a alternativa c) é verdadeira. Nos resta, portanto, a alternativa d) como falsa, até porque a raiz de 𝑓, na verdade é única e é 𝑥 = 2, como pode-se ver na figura mostrada mais acima.