GABARITO: ALTERNATIVA B

Analisando as desigualdades:

𝑓(𝑥 + 7) ≥ 𝑓(𝑥) + 7

⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥 − 7) + 7

∴ 𝑓(𝑥 − 7) ≤ 𝑓(𝑥) − 7

Para a desigualdade 𝑓(𝑥 + 1) ≤ 𝑓(𝑥) + 1, temos:

𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥 − 1) + 1

𝑓(𝑥 − 1) ≤ 𝑓(𝑥 − 2) + 1

𝑓(𝑥 − 2) ≤ 𝑓(𝑥 − 3) + 1

⋮

𝑓(𝑥 − 6) ≤ 𝑓(𝑥 − 7) + 1

Somando todas essas inequações, obtemos:

𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥 − 7) + 7

⇒ 𝑓(𝑥) − 7 ≤ 𝑓(𝑥 − 7)

Assim, concluímos:

𝑓(𝑥 − 7) ≤ 𝑓(𝑥) − 7 ≤ 𝑓(𝑥 − 7)

Logo, temos a igualdade:

𝑓(𝑥 − 7) = 𝑓(𝑥) − 7

Como ocorre a igualdade, temos da desigualdade inicial:

𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥) + 1

Para 𝑓(1) = 1, podemos provar que 𝑓(𝑛) = 𝑛,∀𝑛 ∈ ℕ.

Usando PIF:

𝐻: 𝑓(𝑘) = 𝑘, 𝑘 ∈ ℕ

𝑇: 𝑓(𝑘 + 1) = 𝑘 + 1

Da equação:

𝑥 = 𝑘 ⇒ 𝑓(𝑘 + 1) = 𝑓(𝑘) + 1 = 𝑘 + 1

Logo, 𝑓(𝑥) = 𝑥,∀𝑥 ∈ ℕ.

A questão pede:

𝑔(2023) = 𝑓(2022) − 2023 + 2 = 2022 − 2021 = 1