GABARITO: ALTERNATIVA A

Se um dos focos é o ponto 𝐴(0; −4) e a elipse está centrada na origem, então o outro foco é o ponto 𝐵(0; 4). Fazendo um esboço da situação, temos:

Sabemos que a elipse possui eixo maior na vertical e o seu centro está na origem, logo sua equação é dada por:

Como 𝐶(4, 4) pertence à elipse, temos:

Dos focos, temos 𝑐 = 4. Da relação fundamental da elipse:

𝑎² = 𝑏² + 𝑐² = 𝑏² + 16 ⇒ 𝑏² = 𝑎² − 16

Assim, temos na equação I:

Encontrando as raízes em função da 𝑎²

𝑎² = 24 ± √320 = 24 ± 8√5

Como 𝑎² > 0 e 𝑏² > 0, temos:

𝑎2 = 24 + 8√5

*Caso tomássemos o valor 𝑎² = 24 − 8√5, isso acarretaria em 𝑏² < 0.:

Note que 𝑛1 e 𝑛2 são as distâncias do ponto P até os focos A e B. Para termos o menor valor de 𝑚 + 𝑛, devemos usar o foco B. Assim, temos:

𝑛1 + 𝑛2 = 2𝑎 ⇒ 𝑛2 = 2𝑎 − 𝑛1 (𝑒𝑞. 𝐼𝐼)

Veja que nos pontos A, P e D, temos:

Usando a equação II:

Usando 𝑎 = 2(1 + √5):

⇒ 𝑚 + 𝑛1 ≤ 4 + 4√5 − 3√5

⇒ 𝑚 + 𝑛1 ≤ 4 + √5

Portanto, o menor valor da soma ocorre quando:

𝑚 + 𝑛 = 4 + √5

Gabarito: A