GABARITO: ALTERNATIVA D

Veja que, se o centro da elipse é a origem (0, 0) e um dos focos é A(−5, 0) (foco no eixo x), podemos afirmar que a elipse é horizontal e, portanto o outro foco B está também no eixo x e é simétrico ao outro: B = (5, 0). Portanto, a semi distância focal é c =5 e a equação da elipse é:

Substituindo o ponto C(4, 3), podemos calcular o valor de a:

(𝑎² − 25)16 + 𝑎²⋅ 9 = 𝑎²(𝑎² − 25) ⇒ 𝑎⁴ − 50𝑎² + 400 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau em 𝑎² , encontramos 𝑎² = 10 ou 40. Como 𝑎 > c = 5, devemos ter 𝑎² > 25. Portanto, 𝑎 = √40 = 2√10. Assim, a equação da elipse é

Para achar o ponto D basta fazer interseção da elipse com a reta BC:

Substituindo na equação da elipse:

= 1 ⇒ x² + 24(25 − 10x + x²) = 40 ⇒ 25x² − 240x +560 = 0

⇒ 5x² − 48x + 112 = 0

Resolvendo por Bhaskara, encontramos x = 28/5 e x = 4 (coordenada do ponto C). Achando y para x = 28/5

Portanto,

calculando os valores pedidos:

Portanto:

Gabarito: D