GABARITO: ALTERNATIVA A

Primeiramente, vamos à condição de existência do logaritmo:

𝑥² + 𝑥 + 1 > 0

Isso já é fato, pois o discriminante da expressão acima é negativo. Além disso, precisamos ter:

𝑥² +𝑥 + 1 ≠ 1 ⇒ 𝑥(𝑥 +1) ≠ 0

Portanto, 𝑥 ≠ 0 e 𝑥 ≠ −1. Além disso, temos que ter também nosso logaritmando sempre positivo:

2𝑥² − 𝑥 − 1 > 0 ⇒ (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) > 0

Para isso, precisamos ter 𝑥 < − 1/2 ou 𝑥 > 1. Perceba que até agora, nossas soluções devem pertencer ao intervalo:

(−∞,−1) ∪ (−1,− 1/2) ∪ (1, ∞)

Agora, vamos resolver a inequação:

Se a função 𝑥² +𝑥 + 1 > 1 ⇒ 𝑥 > 0 ou 𝑥 < −1, então o logaritmo será crescente. Daí:

Portanto, fazendo as devidas interseções, a solução desse caso é:

Para o caso em que 𝑥² +𝑥 + 1 < 1 ⇒ −1 < 𝑥 < 0, teremos:

Fazendo a interseção com nosso caso:

Agora, fazendo interseção dessas soluções com a condição de existência, temos o conjunto solução desejado:

Daí: