GABARITO: ALTERNATIVA C

Perceba que 𝑓 é uma função quadrática. Veja:

Os termos em vermelho são expressões quadráticas e os termos em verde são números reais. A soma das expressões quadráticas resulta em uma expressão quadrática. Logo, podemos escrever:

𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥² + 𝛽𝑥 + 𝛾

Vamos encontrar relações para 𝑓:

Dessa forma, substituindo 𝑥 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 na função 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥² + 𝛽𝑥 + 𝛾, encontramos o sistema linear:

Resolvendo o sistema:

(𝐼) − (𝐼𝐼): 𝛼(𝑎 − 𝑏)² + 𝛽(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²

(𝐼) − (𝐼𝐼𝐼): 𝛼(𝑎 − 𝑐)² + 𝛽(𝑎 − 𝑐) = 𝑎² − 𝑐²

Simplificando ambas as equações (lembrando (𝑎 − 𝑏)² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)):

Fazendo (𝐼𝐼𝐼) − (𝐼𝑉):

𝛼(𝑏 − 𝑐) = 𝑏 − 𝑐 ⇒ 𝛼 = 1

Substituindo 𝛼 em (𝐼𝐼𝐼):

(1)(𝑎 + 𝑏) + 𝛽 = 𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝛽 = 0

Substituindo 𝛼, 𝛽 em (𝐼):

(1)𝑎² + (0)𝑎 + 𝛾 = 𝑎² ⇒ 𝛾 = 0

Portanto, encontramos 𝛼 = 1, 𝛽 = 0, 𝛾 = 0. 𝑓 é dado por:

𝑓(𝑥) = 𝑥²

Na hora da prova não precisaríamos realizar todas essas etapas para encontrar a resposta. Bastaria perceber a relação:

𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑓(𝑎) = 𝑎²

𝑥 = 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑏) = 𝑏²

𝑥 = 𝑐 ⇒ 𝑓(𝑐) = 𝑐²

Poderíamos substituir 𝑥 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 nas alternativas e encontrar nossa resposta.