GABARITO: ALTERNATIVA C

Vamos achar a interseção entre a pirâmide e o plano 𝜋 usando geometria analítica. Fazendo o desenho do problema, considerando o centro do quadrado de lado 1 a origem do sistema de coordenadas:

Como ABCD é um quadrado centrado na origem, tal como na figura acima, então suas coordenadas são 𝑀 e 𝑁 são pontos médios de 𝐵𝐶 𝑒 AD, respectivamente. Então:

A coordenada de 𝑉 é (0,0, ℎ), pois está no eixo z. Sua distância a qualquer outro vértice deve ser 1, pois as faces laterais são triângulos equiláteros de lado 1. Assim:

Assim então, se considerarmos os vetores AP e VA:

Veja que o plano 𝜋𝜋 é o plano que passa por 𝑃MN. Assim, como ele passa pela origem, sua equação é da forma:

𝜋: ax + by + cz = 0

Assim, a equação do plano passa a ser 𝜋: ax + cz = 0

Essa equação do plano é para o sistema de coordenadas considerado. Agora, basta acharmos a interseção desse plano com as retas VD 𝑒 VC:

𝑋1 = 𝜋 ∩ VD

Assim, aplicando na equação de 𝜋:

Agora, fazendo o mesmo para 𝑋2, sendo 𝑋2 = 𝜋 ∩ vc:

Assim, a área dessa interseção de 𝜋 com a pirâmide será a área do quadrilátero MNX₁X₂, que é igual à soma das área de MNX₁ com X₁X₂M:

Analogamente:

Portanto:

Gabarito: “c”