GABARITO: a) 10 ; b) 𝑨 = {𝒙⁴ + 𝟐𝒙³ + 𝒙² + 𝟐𝒙 + 𝟐, 𝒙⁴ + 𝟐𝒙³ + 𝟐𝒙² + 𝟐𝒙 + 𝟏, 𝟐𝒙⁴ + 𝟐𝒙³ + 𝒙² + 𝟐𝒙 + 𝟏}

Item a:

Primeiramente, temos um problema de análise combinatória. Observe que um polinômio de grau 4 possui 5 coeficientes. Desses, três devem ser 2 e dois devem ser 1.

Assim, basta escolher dois lugares para colocar os números “1” e, automaticamente, os outros três serão ocupados por números “2”. De quantas formas podemos escolher 2 lugares dentre 5? Do estudo das técnicas de contagem, sabemos que é:

Item b:

Seja 𝑝(𝑥) um polinômio conforme o enunciado. Podemos escrevê-lo, de maneira mais geral, como sendo:

𝑝(𝑥) = 𝑎₄𝑥⁴ + 𝑎₃𝑥³ + 𝑎₂𝑥² + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀

Se −1 é uma de suas raízes, devemos ter:

𝑝(−1) = 𝑎₄ − 𝑎₃ + 𝑎₂ − 𝑎₁ + 𝑎₀ = 0

Ou seja:

𝑎₄ + 𝑎₂ + 𝑎0 = 𝑎₃ + 𝑎₁

Suponha que os números “1” estejam separados, um de cada lado da igualdade acima. Teríamos, por exemplo:

1 + 2 + 2 = 1 + 2

Que é absurdo. Logo, os números “1” devem estar do mesmo lado da igualdade. Suponha que eles estejam do lado direito.

Teríamos, necessariamente:

2 + 2 + 2 = 1 + 1

Que é absurdo. Ou seja, eles devem estar juntos no lado esquerdo da igualdade. Para que isso aconteça, temos 3 possibilidades, veja:

1 + 1 + 2 = 2 + 2

1 + 2 + 1 = 2 + 2

2 + 1 + 1 = 2 + 2

Dessa forma, temos os polinômios:

𝑝₁(𝑥) = 𝑥⁴ + 2𝑥³ + 𝑥² + 2𝑥 + 2

𝑝₂(𝑥) = 𝑥⁴ + 2𝑥³ + 2𝑥² + 2𝑥 + 1

𝑝₃(𝑥) = 2𝑥⁴ + 2𝑥³ + 𝑥² + 2𝑥 + 1