GABARITO: ALTERNATIVA C

Nessa questão, você deve se lembrar que na aula de Álgebra Elementar, na lista de exercícios, demonstramos que a seguinte relação é válida:

É normal não ter memorizado essa fórmula, então, vamos aprender a deduzi-la. Sabendo que (𝑎 + 𝑏)³ = 𝑎³ + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³, temos:

Somando todas essas equações, obtemos:

Vamos definir 𝑋 = 1² + 2² + 3² + ⋯ + 𝑛².

Note que os termos em vermelho se eliminam. A soma dos termos em azul é a soma de uma PA de razão 1 e a soma verde é a soma 𝑋 − 𝑛². Assim, podemos escrever:

Isolando 𝑋:

Portanto, encontramos a fórmula para a soma dos naturais elevados ao quadrado:

Vamos voltar à resolução da questão:

Perceba que 𝑆 é a soma dos números naturais ímpares elevados ao quadrado.

Para calcular 𝑆 = 1² + 3² + 5² + ⋯ + 79², precisamos completar a soma com os números pares.

Podemos reescrever a soma da seguinte forma:

𝑆 = 1² + 2² + 3² + 4² + ⋯ + 79² − (2² + 4² + 6² + 8² + ⋯ + 78²)

𝑆 = 1² + 2² + 3² + 4² + ⋯ + 79² − ((2 ∙ 1)² + (2 ∙ 2)² + (2 ∙ 3)² + ⋯ + (2 ∙ 39)²)

𝑆 = 1² + 2² + 3² + 4² + ⋯ + 79² − (2² ⋅ 1² + 2² ⋅ 2² + 2² ⋅ 3² + ⋯ + 2² ⋅ 39²)

𝑆 = 1² + 2² + 3² + 4² + ⋯ + 79² − 4(1² + 2² + 3² + ⋯ + 39²)

Sabendo que

Temos:

Simplificando:

Perceba que temos os termos 79 ∙ 40 nos dois números acima. Vamos fatorar:

𝑆 = 79 ∙ 40 ∙ 53 − 26 ∙ 40 ∙ 79

𝑆 = 79 ∙ 40 ∙ (53 − 26)

𝑆 = 79 ∙ 40 ∙ 27

Agora, podemos calcular o valor de 𝑆:

𝑆 = 85320

𝑆 é um número entre 80000 e 90000.

∴ 8𝑥10⁴ ≤ 𝑆 < 9𝑥10⁴

Atenção! Sempre que você puder, você deve fatorar os números para facilitar o cálculo.