GABARITO: ALTERNATIVA B

Na divisão de P(x) por x - 2, obtém-se um quociente Q(x) e resto igual a 26:

P(x) = (x - 2)Q(x) + 26

Como P(x) é do 4º grau, vemos que Q(x) precisa ser de 3º grau acima. Aplicando x = 2:

P(2) = (2 - 2)Q(2) + 26

P(2) = 26

Agora, aplicando x = 0, lembrando que Q(0) = 13:

P(0) = (0 - 2)Q(0) + 26 ⇒ P(0) = -26 + 26 = 0

P(0) = 0

Agora, aplicando x = 1, lembrando que Q(1) = 26:

P(1) = (1-2)Q(1) + 26 = -26 + 26 = 0

Na divisão de P(x) por x² + x - 1, obtém-se um quociente H(x) e resto 8x - 5:

P(x) = (x² + x - 1)H(x) + 8x - 5

Novamente, como P é do 4º grau, H(x) é do segundo grau. Usando os resultados anteriores:

P(2) = (2² + 2 - 1)H(2) + 8 ⋅ 2 - 5 ⇒ 5 ⋅ H(2) + 11 = 26 ⇒ H(2) = 15/5 = 3

P(0) = (0² + 0 - 1)H(0) + 8 ⋅ 0 - 5 ⇒ 0 = -H(0) - 5 ⇒ H(0) = -5

P(1) = (1² + 1 - 1)H(1) + 8 ⋅ 1 - 5 ⇒ 0 = H(1) + 3 ⇒ H(1) = -3

Como H(x) = ax² + bx + c, temos informações suficientes para encontrarmos a, b e c:

H(1) = -3 ⇒ a + b + c = -3

H(0) = -5 ⇒ c = -5

H(2) = 3 ⇒ 4a + 2b + c = 3

Substituindo c = -5:

Logo, H(x) = 2x² - 5 ⇒ H(3) = 2 ⋅ 9 - 5 = 13

⇒ H(2) + H(3) = 3 + 13 = 16