Vamos encontrar os vértices do hexágono 𝐻:

Os vértices são dados por:

Esboçando os pontos no plano de Argand-Gauss:

Note que o centro do hexágono 𝐻 é o ponto 𝑥₀ = √3 e ele possui lado de medida 2 (basta ver a distância do vértice 𝑖 ao vértice −𝑖).

Sabendo que o hexágono 𝑀 é formado pelos vértices consecutivos 𝑣₁ = −1 + √3𝑖, 𝑣₂ = 1 − √3𝑖 e 𝑣₃ = 5 − √3𝑖, temos o seguinte esboço:

Estamos interessados em saber qual o número complexo 𝑧 que transforma o hexágono 𝐻 no hexágono 𝑀. O bizu aqui é analisar os centros dos hexágonos e usar a forma polar do complexo 𝑧:

𝑧 = |𝑧| ⋅ 𝑐𝑖𝑠 𝜃

O centro do hexágono 𝐻 é o ponto:

𝑥₀ = √3

Observando-se a figura, podemos ver que o lado do hexágono 𝑀 mede 4 (distância de 𝑣₂ até 𝑣₃). Além disso, o centro do hexágono 𝑀 é:

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 →

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 → √3𝑖

Assim, o centro de 𝑀 é 𝑣₀ = 3 + √3𝑖.

Como 𝑀 é formado pelo hexágono 𝐻 pela multiplicação de 𝑧, e os lados dos hexágonos 𝐻 e 𝑀 medem, respectivamente, 2 e 4, temos que o módulo de 𝑧 é:

Como o argumento do centro do hexágono 𝐻 é 0°, temos que o argumento de 𝑧 será igual ao argumento do centro de 𝑀, logo:

Portanto, o complexo 𝑧 é:

Gabarito: 𝒛 = √𝟑 + 𝒊