GABARITO: DISCURSIVA

Inicialmente, devemos simplificar a equação:

Como |𝑥| ≤ 𝜋/6, podemos dividir a equação por cos² 𝑥:

Fazendo sec² 𝑥 = 1 + 𝑡𝑔²𝑥, temos:

−2𝑡𝑔²𝑥 + 6𝑡𝑔𝑥 − 2(1 + 𝑡𝑔²𝑥) = 0

−4𝑡𝑔²𝑥 + 6𝑡𝑔𝑥 − 2 = 0

Encontrando as raízes:

Temos que verificar a condição |𝑥| ≤ 𝜋/6:

𝑡𝑔𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 𝜋/4 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Para esse valor de 𝑥, o resultado não condiz com a condição |𝑥| ≤ 𝜋/6. Portanto, não é solução.

Para a outra raíz:

𝑡𝑔𝑥 = 1/2 ⇒ 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (1/2)

Devemos verificar se esse valor atende à condição. Usando as seguintes aproximações:

Como a função tangente é crescente para 𝑥 positivo e 𝑡𝑔 (𝜋/6) > 𝑡𝑔𝑥, temos:

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (1/2) < 𝜋/6

Dessa forma, encontramos uma única solução:

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (1/2)

Gabarito: 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝟏/𝟐)