GABARITO: ALTERNATIVA B

Observe que o polinômio possui apenas coeficientes reais, do que temos que 4 − 𝑖√2 também é sua raiz.

Disso, temos que o polinômio é divisível por:

(𝑥 − 4 + 𝑖√2)(𝑥 − 4 − 𝑖√2) = 𝑥² − 8𝑥 + 18

Como √5 é raiz do polinômio, ele também é divisível por:

(𝑥 − √5)

Seu coeficiente líder é 2, de forma que podemos escrevê-lo como:

𝑝(𝑥) = 2(𝑥² − 8𝑥 + 18)(𝑥 − √5)(𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏)

Uma vez que 𝜕𝑝 = 5.

Como 𝑝(0) = 540, temos:

𝑝(0) = 2 ∙ 18 ∙ (−√5) ∙ 𝑏 = 540 ⇒ 𝑏 = −3√5

Além disso, vamos calcular 𝑝(1):

𝑝(1) = 2 − 22 + 74 + 2 − 420 + 540 = 176

Do que resulta que:

𝑝(1) = 2 ∙ 11 ∙ (1 − √5)(1 − 3√5 + 𝑎) = 176 ⇒ 1 − 3√5 + 𝑎 = −2 − 2√5

Ou seja:

𝑎 = −3 + √5

Dessa forma, 𝑝(𝑥) fica:

𝑝(𝑥) = 2(𝑥² − 8𝑥 + 18)(𝑥 − √5)(𝑥² + (−3 + √5)𝑥 − 3√5)

Resolvendo:

𝑥² + (−3 + √5)𝑥 − 3√5 = 0

Temos 𝑥 = 3 ou 𝑥 = −√5.

E por fim:

3² + (−√5)² + (√5)² = 19