GABARITO: 𝑷 = (𝟖/𝟗, 𝟓/𝟑).

O primeiro passo é observar que ambas as cônicas estão centradas na origem, ou seja, possuem mesmo centro, do que podemos traçar o seguinte diagrama:

Logo, o eixo maior da elipse mede 2√5.

Antes de decidirmos se 𝑎 𝑜𝑢 𝑏 é o semieixo maior, vamos plotar o gráfico da circunferência e da reta dada juntamente, supondo que o eixo maior da elipse está sobre o eixo 𝑥:

Note que não seria possível a tangência caso o semieixo maior estivesse sobre o eixo 𝑥. Assim, temos que 𝑏 = √5.

A equação da elipse se torna, então:

𝑥²/𝑎² + 𝑦²/5 = 1

Se a reta é tangente à elipse, temos que o discriminante da equação do segundo grau obtida quando se substitui 𝑥 𝑜𝑢 𝑦 na equação da elipse deve se anular. Ou seja:

𝑦 = 3 − 3/2𝑥

Queremos:

Assim, a equação da elipse é dada por:

Fazendo 𝑎 = 4/3 e multiplicando a equação obtida por 80, vem:

Para achar a coordenada 𝑦 de 𝑃, substituímos 𝑥 = 8/9 na equação da reta:

𝑦 = 3 − 3/2 ∙ 8/9 = 5/3