GABARITO: 𝒙 = 𝒚 = 2

Das condições de existência iniciais, temos:

Dos radicais:

𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0

Do logaritmo:

𝑦/𝑥 > 0

Fazendo a intersecção entre eles:

⇒ 𝑥, 𝑦 > 0

Analisando a primeira equação:

√𝑥 − √𝑦 = log₃𝑦/𝑥

e 𝑥 > 𝑦, temos 𝑦/𝑥 < 1 e consequentemente log₃𝑦/𝑥 < 0.

𝑥 > 𝑦 ⇒ √𝑥 − √𝑦 > 0

log₃𝑦/𝑥 < 0

Nesse caso, é impossível ter valores de 𝑥 e 𝑦 que satisfaçam as condições acima.

Se 𝑥 < 𝑦:

𝑦/𝑥 > 1 ⇒ log₃𝑦/𝑥 > 0

𝑥 < 𝑦 ⇒ √𝑥 − √𝑦 < 0

Também temos um sistema impossível.

Portanto a única solução é 𝑥 = 𝑦:

√𝑥 − √𝑥 = 0 = log₃ 1

Substituindo 𝑥 = 𝑦 na segunda equação, temos:

2ˣ⁺² + 8ˣ = 5 ∙ 4ˣ

4 ∙ 2ˣ + (2³)ˣ = 5 ∙ (2²)ˣ

Fazendo 2ˣ = 𝑧, temos:

4𝑧 + 𝑧³ = 5𝑧²

𝑧³ − 5𝑧² + 4𝑧 = 0

𝑧(𝑧² − 5𝑧 + 4) = 0

𝑧(𝑧 − 4)(𝑧 − 1) = 0

Dessa forma, encontramos as raízes:

𝑧 = 0 𝑜𝑢 𝑧 = 4 𝑜𝑢 𝑧 = 1

𝑧 = 0 ⇒ 2ˣ = 0 ⇒ 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙

𝑧 = 4 ⇒ 2ˣ = 2² ⇒ 𝑥 = 2

𝑧 = 1 ⇒ 2ˣ = 2⁰ ⇒ 𝑥 = 0 (impossível, pois 𝑥 > 0)

Portanto, a única solução é 𝑥 = 𝑦 = 2.