a) 6 ∙ 3²ˣ − 13 ∙ 6ˣ+ 6 ∙ 2²ˣ = 0

Perceba os termos

Vamos dividir toda a equação por 2²ˣ:

Agora, basta substituir (3/2)ˣ = 𝑦:

6𝑦² − 13𝑦 + 6 = 0

Encontrando as raízes na variável 𝑦:

Retornando à variável 𝑥, temos:

Portanto, a solução é:

𝑆 = {±1}

Vamos reescrever a equação:

Dividindo a equação por > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ, temos:

Desse modo, encontramos:

𝑥 − 1,5 = 0

𝑥 = 1,5

⇒ 𝑆 = {1,5}

Fatorando 625, obtemos:

Agora, basta igualar os expoentes:

Novamente:

𝑥² − 4𝑥 − 3 = 2

𝑥² − 4𝑥 − 5 = 0

𝑥 = (2 ± √9) = 2 ± 3 = −1 𝑜𝑢 5

⇒ 𝑆 = {−1; 5}

Nessa equação, se fizermos 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 0, a equação sempre é verdadeira. Logo, 𝑥 = 1 e 𝑥 = 0 são soluções.

Para as outras soluções, devemos igualar os expoentes:

2𝑥² − 7𝑥 + 4 = 1

2𝑥² − 7𝑥 + 3 = 0

𝑥 = (7±√25)/4 = (7±5)/4 = 1/2 𝑜𝑢 3

Portanto, a solução é dada por:

𝑆 = {0; 1/2; 1; 3}

e) 1 + 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3ˣ − 9841 = 0

Vamos reescrever a equação:

1 + 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3ˣ = 9841

Perceba que o lado esquerdo da equação é uma PG de razão 3. Sabemos que a soma de uma PG é dada por:

Nesse caso, 𝑎₁ = 3⁰ e 𝑞 = 3:

Substituindo na equação, temos:

Vamos multiplicar toda a equação por 𝑥²ˣ:

Fazendo 𝑥ˣ = 𝑦, temos:

𝑦³ − 32𝑦² + 139𝑦 − 108 = 0

Fatorando a equação:

Raízes: