GABARITO:

Multiplicando as matrizes, obtemos o seguinte sistema:

Então, temos três planos. Para resolver e interpretar o sistema, devemos analisar suas soluções.

*Veremos na aula de geometria analítica que as equações da forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 determinam um plano no espaço. Não se preocupe se você não entendeu essa parte.

Seja 𝐷 o determinante dos coeficientes:

Assim, podemos ter 𝐷 = 0 ou 𝐷 ≠ 0.

1) Se 𝐷 = 0, temos:

4𝛼 + 88 = 0

𝛼 = −22

Substituindo no sistema:

Da primeira equação, temos:

𝑥 = −4 + 2𝑦 − 3𝑧

Substituindo nas outras duas equações:

Simplificando as equações:

Vamos igualar os termos independentes:

Desse modo, temos duas possibilidades:

1.1) Se 𝛽 = 36, o sistema é possível e indeterminado. Então, existem infinitas soluções e, portanto, a intersecção entre os planos é uma reta.

1.2) Se 𝛽 ≠ 36, o sistema é impossível. Então, não existem soluções. Assim, os planos não se intersectam.

2) Se 𝐷 ≠ 0, temos:

4𝛼 + 88 ≠ 0

𝛼 ≠ −22

O sistema é SPD e possui solução única, assim, os planos se intersectam em um único ponto.

Além disso, as soluções do sistema são:

Substituindo 𝑥 da primeira equação nas outras duas equações:

Multiplicando a primeira equação por 5 e subtraindo da segunda, temos:

Substituindo em 4𝑦 − 8𝑧 = 12:

Por fim, substituindo 𝑥 e 𝑦 na primeira equação do sistema:

Portanto, as soluções são: