ALTERNATIVA CORRETA: D

Vamos calcular essa probabilidade por meio da definição:

𝑃 = 𝑛° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 / 𝑛° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠

Vamos inicialmente fixar o nosso espaço amostral, e ele será o total de resultados possíveis do lançamento de 4 dados, isto é, o número total de quádruplas (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), em que cada um desses dados podem variar de 1 a 6. Assim, pelo princípio multiplicativo:

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 1296 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠

Agora, os casos favoráveis são aqueles (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) em que 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑑 = 36. Primeiramente, vejamos em quais casos isso é possível. Para isso, vamos começar com o produto dos 4 números em que o maior número é 6:

6 ⋅ 6 ⋅ 1 ⋅ 1 = 36

Nesse caso, temos como permutar esses 6’s e 1’s de 4! / 2!2! = 6 maneiras distintas. Portanto, com a configuração acima, já temos 6 casos favoráveis.

Ainda com o maior deles sendo igual a 6, podemos ter:

6 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 36

Podemos permutar esses 4 números distintos entre as posições (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) de 4! = 24 maneiras distintas, somando mais 24 casos favoráveis. Veja que contamos já todas as configurações em que pelo menos um 6 aparece.

Agora, contaremos os casos em que o maior número é o 4 (5 não pode porque 36 não é múltiplo de 5). Assim temos:

4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 1 = 36

Essa é a única forma. Portanto, podemos permutar esses 4 números entre as posições (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) de 4!/2! = 12 maneiras distintas, somando mais 12 casos favoráveis.

Agora, contaremos os casos em que o maior número é o 3

3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 36

Veja que é apenas o caso acima. Podemos permutar esses casos nas posições (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) de 4! / 2!2! = 6 maneiras distintas, somando mais 6 casos favoráveis.

Por fim, veja que não há casos em que o maior número é 2, pois se todos fossem 2 (o máximo), teríamos no máximo o produto dando 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 < 36. Portanto, já contamos todos os casos favoráveis:

𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 = 6 + 24 + 12 + 6 = 8 ⋅ 6

Portanto, a probabilidade pedida é:

𝑃 = 8 ⋅ 6 / 6⁴ = 8/6³ = (2³/6³) = (2/6)³ = (1/3)³ = 1/27