GABARITO: ALTERNATIVA A

Sejam M₃ e M₄ os conjuntos dos múltiplos de 3 e 4, respectivamente, limitados de 1 a 2022. E seja M₇ o conjunto dos múltiplos de 7. Nós queremos o número de elementos do conjunto:

Pelo princípio da inclusão exclusão:

Assim nesse formato fica mais fácil de analisar.

é o conjunto dos múltiplos de 3 que não são múltiplos de 7. Isto é, os múltiplos de 3 que não são múltiplos de 21. O mais alto múltiplo de 21 menor que 2022 é 21 ⋅ 96 = 2016, totalizando então 96 múltiplos de 21 entre 1 e 2022. O número de múltiplos de 3 de 1 a 2022 é 674, pois 3 ⋅ 674 = 2022. Portanto:

é o conjunto dos múltiplos de 4 que não são de 7, isto é, os múltiplos de 4 que não são múltiplos de 28. Logo, basta calcularmos o número de múltiplos de 4 e subtrair do número de múltiplos de 28. Múltiplos de 4 são 505, pois 505 ⋅ 4 = 2020, maior múltiplo de 4 não excedendo 2022. E os múltiplos de 28 são 72, pois 72 ⋅ 28 = 2016, maior múltiplo de 28 não excedendo 2022. Logo:

Agora,

é o conjunto dos múltiplos de 3 e de 4 (múltiplos de 12) que não são múltiplos de 7. Portanto, basta calcular 𝑛(M₁₂) e subtrair dele o número de múltiplos de 12 ⋅ 7 = 84. 𝑛(M₁₂) = 168, pois 168 ⋅ 12 = 2016, maior múltiplo de 12 que não excede 2022. E o número de múltiplos de 84 é 24, pois 24 ⋅ 84 = 2016, maior múltiplo de 84 que não excede 2022. Assim:

Logo, o valor pedido é:

Gabarito: A