GABARITO: ALTERNATIVA D

Esse tipo de questão é resolvido por meio de análise gráfica das funções dadas, contando o número de interseções dos gráficos das funções. Primeiramente, vamos calcular os pontos de máximo e mínimo da função polinomial de quarto grau à direita:

p(x)=2x⁴ - 8x³ + 9x² - 2x + 1

p^' (x)=8x³ - 24x² + 18x-2

Nos pontos de máximo e mínimo, a derivada da função é nula:

p^' (x)=0⇒2(4x³ -12x² + 9x - 1)=0

Por inspeção, x=1 é raiz da equação acima. Fatorando esta, buscando o monômio x-1:

4x² (x-1)-8x(x-1)+(x-1)=0

⇒(x-1)(4x²- 8x + 1)=0

⇒(x-1)(4x²- 8x + 4 -3)=0

⇒(x-1)[4(x-1)² -3]=0

Portanto as outras raízes da derivada de p são tais que:

Assim,

Fazendo o estudo do sinal de p^' (x):

Portanto:

Calculando o valor de p(x) para esses pontos, mas dando uma arrumada na expressão para facilitar as contas:

As contas das substituições acima ficam a cargo do leitor. Assim, vemos que o valor mínimo da função p(x) é 7/8 e seu valor máximo local em x=1 é 2. Assim, a função não possui raízes reais.

Agora, analisando a função do lado esquerdo da igualdade: f(x)=2 cos⁡(x-1), uma função periódica, de amplitude 2 cuja imagem é [-2,2]. Perceba que seu período é 2π e que f(1)=2 co⁡s (0) =2. Portanto, o ponto (1,2) é um ponto de interseção de p e f, pois pertence aos dois gráficos. Assim, fazendo o esboço do gráfico dessas funções com os valores até então encontrados:

Em verde, temos f(x)=2 cos⁡(x-1) e em vermelho, a função p(x)=2x² (x-2)²+(x-1)². Assim, por meio das informações descritas acima, pode-se esboçar o gráfico e saber quantas interseções vai haver entre os dois gráficos. Nesse caso, encontramos 3 interseções e, portanto, três soluções reais para a equação.