GABARITO: ALTERNATIVA D

Primeiramente, perceba que:

𝑥³ − 3𝑥² − 𝑥 + 3 = 𝑥²(𝑥 − 3) − (𝑥 − 3) = (𝑥² − 1)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)

Suas raízes são dadas por:

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0

Ou seja:

𝑥 = 1, 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 3

Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥²⁶ − 𝑥²⁵ − 6𝑥²⁴ + 5𝑥⁴ − 16𝑥³ + 3𝑥² e 𝑔(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥² − 𝑥 + 3. Do estudo da divisão de polinômios, vem:

𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥) 𝑒𝑞. 01

E ainda temos da análise do grau que:

𝜕𝑟 < 𝜕𝑔 = 3

Vamos supor então que 𝑟(𝑥) = 𝑎𝑥

2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Da 𝑒𝑞. 01, temos que:

𝑝(1) = 𝑞(1)𝑔(1) + 𝑟(1) = 𝑞(1) ∙ 0 + 𝑟(1) = 𝑟(1) ⇒ 𝑝(1) = 𝑟(1)

𝑝(−1) = 𝑞(−1)𝑔(−1) + 𝑟(−1) = 𝑞(−1) ∙ 0 + 𝑟(−1) = 𝑟(−1) ⇒ 𝑝(−1) = 𝑟(−1)

𝑝(3) = 𝑞(3)𝑔(3) + 𝑟(3) = 𝑞(3) ∙ 0 + 𝑟(3) = 𝑟(3) ⇒ 𝑝(3) = 𝑟(3)

Vamos então calcular 𝑝(1), 𝑝(−1) 𝑒 𝑝(3).

Mas antes disso, perceba que:

𝑝(𝑥) = 𝑥²⁶ − 𝑥²⁵ − 6𝑥²⁴ + 5𝑥⁴ − 16𝑥³ + 3𝑥² = 𝑥²⁴(𝑥² − 𝑥 − 6) + 𝑥² (5𝑥² − 16𝑥 + 3)

Ou ainda:

𝑝(𝑥) = 𝑥²⁴ (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) + 𝑥² (5𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 𝑥² (𝑥 − 3)[𝑥²²(𝑥 + 2) + 5𝑥 − 1]

Ou seja:

𝑝(𝑥) = 𝑥² (𝑥 − 3)[𝑥²²(𝑥 + 2) + 5𝑥 − 1]

Fica óbvio, então, que:

𝑝(3) = 0

Além disso, temos:

𝑝(1) = 1² ∙ (1 − 3) ∙ [1²²(1 + 2) + 5 − 1] = −14

𝑝(−1) = (−1)² (−1 − 3)[(−1)²²(−1 + 2) − 5 − 1] = 20

Assim, temos que:

𝑝(3) = 𝑟(3) = 0 = 𝑎 ∙ 3² + 𝑏 ∙ 3 + 𝑐 ⇒ 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0

𝑝(1) = 𝑟(1) = −14 = 𝑎 ∙ 1² + 𝑏 ∙ 1 + 𝑐 ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −14

𝑝(−1) = 20 = 𝑎 ∙ (−1)² + 𝑏 ∙ (−1) + 𝑐 ⇒ 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 20

Que resulta no sistema:

Somando a segunda e a terceira equação, vem:

2𝑎 + 2𝑐 = 6 ⇒ 𝑎 + 𝑐 = 3

Substituindo 𝑎 + 𝑐 na segunda equação, temos:

3 + 𝑏 = −14 ⇒ 𝑏 = −17

Subtraindo a primeira da terceira equação, vem:

𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − (9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐) = 20 − 0 ⇒ −8𝑎 − 4𝑏 = 20 ⇒ −5 − 𝑏 = 2𝑎

Ou seja:

−5 − (−17) = 2𝑎 ⇒ 𝑎 = 6

Por fim:

𝑎 + 𝑐 = 3 ⇒ 6 + 𝑐 = 3 ⇒ 𝑐 = −3

Dessa maneira, obtemos:

𝑟(𝑥) = 6𝑥² − 17𝑥 − 3