GABARITO: ALTERNATIVA E.

⟹ 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). (𝑥 − 1)+ 7 (Equação 1)

⟹ 𝑄(𝑥) = 𝑇(𝑥). (𝑥 + 1)− 5 (Equação 2)

Da equação 1 temos que: 𝑃(1) = 𝑄(1). (1 − 1)+ 7 ⟹ 𝑃(1) = 7

Da equação 2 temos que: 𝑄(−1) = 𝑇(−1). (−1 +1) −5 ⟹ 𝑄(−1) = −5

Façamos agora, 𝑃(−1) = 𝑄(−1). (−1 −1) + 7 ⟹ 𝑃(−1) = −2.𝑄(−1)+ 7

Como 𝑄(−1) = −5 então 𝑃(−1) = −2. (−5) +7 ⟹ 𝑃(−1) = 10 + 7 ⟹ 𝑃(−1) = 17

⟹ 𝑃(𝑥) = 𝑆(𝑥). (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)+ 𝑅(𝑥)

Fazendo 𝑃(1) = 7 temos que : 𝑃(1) = 𝑆(1). (1 −1)(1 + 1)+ 𝑅(1) = 7

⟹ 𝑅(1) = 7

Fazendo 𝑃(−1) = 17 temos que : 𝑃(−1) = 𝑆(−1). (−1 − 1)(−1 + 1)+ 𝑅(−1) = 17

⟹ 𝑅(−1) = 17

Fazendo o resto 𝑅(𝑥) da forma 𝑅(𝑥) = 𝑎𝑥 +𝑏, temos:

𝑅(1) = 7 ⟹ 𝑎(1) + 𝑏 = 7 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 7

𝑅(−1) = 17 ⟹ 𝑎(−1) +𝑏 = 17 ⟹ −𝑎 + 𝑏 = 17

E portanto chegamos a um sistema de equações

somando as duas equações teremos:

2𝑏 = 24 ⟹ 𝑏 = 12

Como 𝑎 + 𝑏 = 7 e 𝑏 = 12 então teremos: 𝑎 + 12 = 7 ⟹ 𝑎 = −5

Portanto 𝑅(𝑥) = −5𝑥 + 12