GABARITO: ALTERNATIVA C

Seja a reta 𝑟 tangente da forma:

𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Temos que 𝐶 ∈ 𝑟, logo:

−4 = 4𝑚 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = −4(𝑚 + 1)

Assim:

𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 − 4(𝑚 + 1)

Substituindo 𝑦 na equação da parábola, temos:

𝑦 = (𝑥 − 4)² + 2 ⇒ 𝑚𝑥 − 4(𝑚 + 1) = (𝑥 − 4)² + 2

Simplificando a equação acima, temos: 𝑥² − (8 + 𝑚)𝑥 + 22 + 4𝑚 = 0 (𝑒𝑞. 01)

Calculando seu discriminante, temos:

Δ = (8 + 𝑚)² − 4 ∙ (1) ∙ (22 + 4𝑚) = 𝑚² + 16𝑚 + 4 ∙ 16 − 4 ∙ 22 − 16𝑚 = 𝑚² − 4 ∙ 6

Fazendo Δ = 0, vem:

𝑚² = 4 ∙ 6 ⇒ 𝑚 = ±2√6

Como Δ = 0, única solução da equação 01 é dada por 𝑥 = 8+𝑚/2. Substituindo na equação da reta, temos que:

Ou seja, para ambas as retas teremos o mesmo 𝑦, observe:

Para facilitar, observe o diagrama:

Note que a reta 𝐴𝐵 é horizontal, pois 𝐴 𝑒 𝐵 possuem mesma coordenada 𝑦, de modo que a distância do ponto 𝐶 a ela é dada simplesmente por: