GABARITO: ALTERNATIVA C

Veja que as alternativas não requerem o valor exato do volume solicitado. Seria impossível calculálo em tempo útil de prova. Portanto, vamos separar o cálculo em duas partes:

Veja que podemos calcular o volume do sólido formado pela rotação do tetraedro regular ADEB, de vértice 𝐴 que é igual ao tetraedro GHCF, de vértice 𝐺. A igualdade vem da simetria do problema. Assim, vamos calcular o volume de ADEB:

Veja que no ADEB, os lados do triângulo da base DEB são as diagonais das faces quadradas, isto é, medem todos 3√2 e, portanto, é um triângulo equilátero. A projeção de 𝐴 no plano DEB, portanto, se dá no centro do triângulo equilátero, e está contida na reta AG. O giro desse tetraedro vai gerar um cone de raio da base igual à distância do centro deDEB a um de seus vértices. Sabemos que num triângulo equilátero isso equivale a dois terços de sua altura. Assim:

A altura podemos calcular pela relação com a geratriz do cone (a aresta do cubo) e o raio do cone, que formam um triângulo retângulo:

𝑔² = 𝑅² + 𝐻² ⇒ 3² = (√6)² + 𝐻² ⇒ 𝐻² = 3 ⇒ 𝐻 = √3

Assim, o volume do sólido gerado ao rotacionar o tetraedro ADEB em torno do eixo AG é o cone:

Assim, como ADEB = GHCF ⇒ 𝑉ghcf ≈ 10,883

Portanto, o volume formado pela rotação desses dois tetraedros são:

Vtetraedros ≈ 21,76

O restante do sólido (cubo subtraído dos dois tetraedros) nós vamos aproximar de um cilindro de raio da base igual ao raio do cone anterior, e altura igual à subtração da diagonal pelas alturas dos cones anteriores:

Rcilindro = Rcone = √6

ALTURAcilindro = 𝜋𝑅²cilindroALTURAcilindro = 𝜋 ⋅ 6 ⋅ √3 ≈ 32,65

Portanto, sabemos que:

𝑉 < 𝑉tetraedros + 𝑉cilindro ≈ 54,04

⇒ 𝑉 < 54,04 < 55

Por outro lado, o volume restante (cubo menos os dois tetraedros) é menor que o cilindro de raio igual à metade da diagonal da face quadrada (basta ver o plano que passa pela metade do cubo, paralelo à base) e altura igual à do cilindro anterior:

Portanto:

𝑉 > Vtetraedros + 𝑉cilindro2 = 21,76 + 24,48 ≈ 46,24 > 36

Assim:

36 < 𝑉𝑉< 55