I - ... mas para um sentir a mão do outro precisam se agarrar ambos a qualquer velha besteira: você se lembra daquela tarde... — de acordo com a norma padrão, o verbo destacado obrigatoriamente deveria flexionar-se no singular.  

II - Os analistas acreditam que, se não existirem turbulências na economia mundial, o desemprego continuará em queda ao longo do ano. — a substituição de existirem por houverem manteria a frase correta.  

III - O péssimo estado de conservação de muitas rodovias brasileiras causam prejuízos de milhões de reais ao país. — nesse caso, é facultativa a concordância verbal: no plural, o verbo concorda com muitas rodovias brasileiras, e no singular, o verbo passa a concordar com O péssimo estado de conservação.