Divertimento n° 1 - A Torre de Hanói

A Torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeça do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francês Édouard Lucas. O jogo se apresenta em uma base que possui três pinos na posição vertical. No primeiro pino, temos uma sequência de discos (torre) que decrescem em diâmetro, de baixo para cima. O objetivo é passar todos os discos para o último pino com a ajuda do pino central, de modo que, no momento da transferência, um disco de maior diâmetro nunca fique sobre um de diâmetro menor. Afigura abaixo mostra uma versão do brinquedo com 10 discos.

http://praticasinclusivas1.bloqspot.com.br (acesso 27/08/2017)

Consta que Édouard teria sido inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo em Benares, cidade da índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo. De acordo com a lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual estão fixados três pinos de diamante. Em um desses pinos, o deus Brahma, no momento da criação do mundo, colocou 64 discos de ouro puro. A atribuição que os monges do templo receberam foi de transferir, do primeiro para o último pino, a torre formada pelos 64 discos, seguindo as regras acima mencionadas. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.

Considere que os 64 discos a serem movidos pelos monges sejam numerados, desde a base da torre, sequencialmente, a partir do número 1, até que o disco que está no topo da torre seja o de número 64.

Suponha que cada um desses discos seja uma coroa circular, isto é, uma região limitada por duas circunferências de mesmo centro, conforme ilustra a figura a seguir.

A medida do raio da circunferência interna é igual a r metros em todos os discos da torre. Por outro lado, a medida do raio da circunferência externa depende da posição do disco na torre, sendo descrita pela função dada por

em que R(n) é a medida do raio da circunferência externa, em metros, do disco de número n, n ∈ {1,2,3,...,64}, e α é um número real. Note que r < R(n) para todo n ∈ {1,2,3,...,64}.

Suponha que a medida do raio da circunferência externa do disco de número 1 seja de 2,275 metros. Qual é a quantidade total de discos da torre que têm medida do raio da circunferência externa inferior a um metro?