GABARITO: ALTERNATIVA D

Vamos calcular a imagem de 𝑓(𝑥), sabendo que cos(2𝑥) = 2cos2𝑥 − 1

𝑓(𝑥) = 2 cos²(𝑥) + sen(2𝑥) − 1 = cos(2𝑥) +sen²(𝑥)

Multiplicando e dividindo por √2:

1 ≤ cos(2𝑥 − 45°) ≤ 1 ⇒ −√2 ≤ √2 ⋅ cos(2𝑥 − 45°) < √2

⇒ −√2 ≤ 𝑓(𝑥) < √2

Portanto, vemos que im(𝑓) = |−√2,√2|. Logo, 𝑎 = −√2 e 𝑏 = √2.

Agora, vamos calcular a equação do plano 𝜋. Se 𝑢 e 𝑣 são paralelos ao plano, então o vetor 𝑢 × 𝑣 é normal ao plano, pois é normal aos dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣

Assim, os pontos 𝑄 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) do plano 𝜋𝜋 que passam por 𝐴 = (9, −1,0) devem obedecer à seguinte relação:

[(𝑥, 𝑦, 𝑧) − (9, −1,0)] ⋅ (1,0, −1) = 0

O lado esquerdo do produto escalar acima representa um vetor de origem em 𝐴𝐴 indo até o ponto genérico 𝑄𝑄. Esse vetor pertence ao plano e, portanto, seu produto escalar com um vetor normal ao plano (𝑢 × 𝑣) deve ser nulo. Daí, abrindo a última equação:

𝑥 − 9 − 𝑧 = 0

A equação acima é a do plano 𝜋𝜋 desejado. Queremos calcular a menor distância do ponto 𝑃 =

ao plano citado. Essa menor distância é dada por:

Gabarito: “d”.