Vamos interpretar as informações fornecidas no enunciado. Se 𝑄(𝑥) é de grau 6 e 𝑄(𝑥) + 2 é divisível por 𝑥⁴, devemos ter:

𝑄(𝑥) + 2 = 𝑥⁴(𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐) = 𝑎𝑥⁶ + 𝑏𝑥⁵ + 𝑐𝑥⁴

Além disso, 𝑄(𝑥) + 1 é divisível por (𝑥 − 1)³, com quociente 𝑃(𝑥), que é o que queremos.

Já temos que:

𝑄(𝑥) + 1 = 𝑎𝑥⁶ + 𝑏𝑥⁵ + 𝑐𝑥⁴ − 1

Nesse momento, é conveniente recordar o seguinte fato:

Se 𝛼 á raiz com multiplicidade 𝑟 de um dado polinômio, então 𝛼 é raiz das derivadas 1, 2, … , 𝑟 − 1 desse polinômio.

Lembre-se de que a derivada de um monômio é dada por:

Ou seja, multiplica o coeficiente pelo expoente e subtrai 1 do expoente.

Como 1 é raiz com multiplicidade 3 de 𝑄(𝑥) + 1, temos que:

Resolvendo o sistema acima:

𝑎 = 10, 𝑏 = −24 𝑒 𝑐 = 15

Disso, temos que:

𝑄(𝑥) + 1 = 10𝑥⁶ − 24𝑥⁵ + 15𝑥⁴ − 1

Esse polinômio é divisível por (𝑥 − 1)³ e quociente 𝑃(𝑥). Vamos então dividir 𝑄(𝑥) + 1 três vezes por 𝑥 − 1.

Por fim, temos que:

𝑄(𝑥) + 1 = (𝑥 − 1)³ (10𝑥³ + 6𝑥² + 3𝑥 + 1)

Do que concluímos que: 𝑃(𝑥) = 10𝑥³ + 6𝑥² + 3𝑥 + 1.

Gabarito: 𝑷(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙³ + 𝟔𝒙² + 𝟑𝒙 + 𝟏.