GABARITO: ALTERNATIVA C

Inicialmente, devemos encontrar as coordenadas dos pontos 𝑃,𝑄, 𝑅, 𝑆. Como 𝑃 e 𝑄 são os pontos de interseção de 𝑐1 com o eixo 𝑥, temos:

𝑃 = (𝑥𝑝, 0) e 𝑄 = (𝑥𝑞, 0)

Fazendo 𝑦 = 0 na equação de 𝑐1:

16𝑥² − 224𝑥 + 640 = 0

⇒ 𝑥² − 14𝑥 + 40 = 0

⇒ (𝑥 − 10)(𝑥 − 4) = 0

Portanto, as raízes são 𝑥 = 10 ou 𝑥 = 4.

Assim, temos os pontos 𝑃(4, 0) e 𝑄(10, 0).

Resta encontrar 𝑅 e 𝑆. Como esses pontos são a interseção de 𝑐₂ com o eixo 𝑦, temos 𝑅 = (0, 𝑦𝑅) e 𝑆 = (0, 𝑦𝑆). Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑐₂:

𝑦² − 10𝑦 + 13 = 0

Assim, temos 𝑅 = (0, 5 + 2√3) e 𝑆 = (0, 5 − 2√3).

Esboçando os pontos no plano cartesiano, temos a seguinte figura:

A área pedida é dada por:

[PQRS] = 25 + 10√3 − 10 + 4√3 = 15 + 14√3