GABARITO: ALTERNATIVA B

Sejam 𝛼 e 𝛽 os ângulos opostos às bases de 𝑋 e 𝑋 ′ , respectivamente. Então a área de 𝑋 será:

Podemos calcular cos 𝛼 pela lei dos cossenos em 𝑋:

16² = 10² + 10² − 2 ⋅ 10 ⋅ 10 cos 𝛼

⇒ cos 𝛼 = − 7/25

Daí, calculando o 𝑠𝑒𝑛𝛼:

Portanto, a área de 𝑋 é:

Assim, como [𝑋] = [𝑋 ′ ], então se traçarmos a altura ℎ de 𝑋 ′ , ela será mediana também, dividindo a base 𝑏 em 2 partes iguais (desenhe isso). Dessa maneira, aplicando pitágoras, teremos:

Como os perímetros dos triângulos são iguais, temos 𝑏 + 2𝑎 = 36 ⇒ 𝑏 = 36 − 2𝑎. Sendo assim, aplicando na equação acima:

𝑎² = (18 − 𝑎)² + ℎ² ⇒ 𝑎² = 𝑎² − 36𝑎 + 324 + ℎ²

⇒ 36𝑎 − 324 = ℎ² ⇒ ℎ² = 36(𝑎 − 9) ⇒ ℎ = 6√(𝑎 − 9)

Como a área do triângulo 𝑋 ′ é 48, então:

Veja que 𝑎 = 10 satisfaz, mas isso recairia num caso de congruência de 𝑋 e 𝑋 ′ , resultando em 𝑏 = 16. Elevando ao quadrado a expressão acima:

Sabemos que 𝑏 = 16 é solução da equação acima, logo 𝑏/2 = 8 é solução da equação acima. Fatorando:

Logo, as outras soluções para 𝑏 estão na equação:

Logo, b é mais próximo de 7.