Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ tais que 𝑎³ + 𝑏³ = 𝑝, com 𝑝 primo. Assim, temos:

Como 𝑝 é primo, temos duas possibilidades para os fatores:

I) 𝑎 + 𝑏 = 1 e 𝑎² − 𝑎𝑏 + 𝑏² = 𝑝

Como 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, temos de 𝑎 + 𝑏 = 1 que as soluções são:

𝑎 = 1 e 𝑏 = 0 ou 𝑎 = 0 e 𝑏 = 1

Substituindo 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0 na equação 𝑎² − 𝑎𝑏 + 𝑏² = 𝑝:

1² = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 1

Como 1 não é primo, temos que esses valores de 𝑎 e 𝑏 não convém, analogamente para 𝑎 = 0 e 𝑏 = 1. Assim, devemos analisar o segundo caso.

II) 𝑎 + 𝑏 = 𝑝 e 𝑎² − 𝑎𝑏 + 𝑏² = 1

Fazendo 𝑎 = 𝑝 − 𝑏, temos:

(𝑝 − 𝑏)² − (𝑝 − 𝑏)𝑏 + 𝑏² = 1

𝑝² − 2𝑝𝑏 + 𝑏² − 𝑝𝑏 + 𝑏² + 𝑏² = 1

𝑝² − 3𝑏𝑝 + 3𝑏² − 1 = 0

Analisando o discriminante:

Δ = (3𝑏)² − 4 ⋅ 1 ⋅ (3𝑏² − 1) = 4 − 3𝑏²

Como 𝑝 é a soma de dois naturais, temos que 𝑝 também é natural, logo devemos ter Δ ≥ 0:

Como 𝑏 ∈ ℕ, a única possibilidade é 𝑏 = 1.

Encontrando as raízes para 𝑝:

Como 1 não é primo, temos 𝑝 = 2.

Para esse valor de 𝑝:

𝑎 + 𝑏 = 𝑝 ⇒ 𝑎 + 1 = 2 ∴ 𝑎 = 1

Portanto, o subconjunto dos números primos que satisfazem ao problema é 𝑆 = {2}.

Gabarito: 𝑺 = {𝟐}.