GABARITO: ALTERNATIVA B

Primeiramente, construamos a região que irá ser rotacionada, esboçando o gráfico da região 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 e 𝑦 ≥ √𝑥−1 e 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥². Veja que a função 𝑦 = √𝑥−1 está definida apenas para 𝑥 ≥ 1e sua imagem é positiva.

Queremos rotacionar a figura acima em torno de 𝑦e calcular o seu volume. Veja que cada ponto pertencente à região acima vai rotacionar em torno de 𝑦.

Se passarmos um plano perpendicular ao eixo ordenado, cortando essa figura acima na ordenada 𝑦 ≤ 1, obteremos coroas circulares de raio interno tal que 𝑦 = 𝑟² ⇒ 𝑟 = √𝑦, e raio externo 𝑅 tal que 𝑦 = √𝑅−1 ⇒ 𝑅 = 𝑦² + 1. Sendo assim, um elemento de volume dessa figura 𝑑𝑉₁, para 𝑦≤1é um sólido cuja área da base é 𝜋(𝑅² − 𝑟²) e altura 𝑑𝑦. Assim, o volume total da figura, para 𝑦 ≤ 1 é:

Agora, se passarmos um plano perpendicular ao eixo ordenado, cortando essa figura acima na ordenada 1≤ 𝑦 ≤4, obteremos coroas circulares de raio interno tal que 𝑦 = 𝑟² ⇒ 𝑟 = √𝑦, e raio externo 𝑅 = 2. Sendo assim, um elemento de volume dessa figura 𝑑𝑉₂, para 1≤ 𝑦 ≤ 4 é um sólido cuja área da base é 𝜋(𝑅² − 𝑟²) = 𝜋(4 − 𝑟²) e altura 𝑑𝑦. Assim, o volume total da figura, para 1 ≤ 𝑦 ≤ 4 é:

Portanto, o volume total é a soma dos volumes calculados acima: