Gabarito: a=1; b=1;raízes: {1-i√5;1+i√5}

A questão afirma que as equações possuem duas raízes em comum. Devemos pensar em como relacionar essas raízes. As relações de Girard nos permitem criar um sistema entre as raízes e os coeficientes dessas equações, vamos usá-las.

Sejam 𝛼 e 𝛽 as raízes comuns, então, aplicando as relações de Girard:

Raízes de 𝑥³ + 𝑎𝑥² + 18 = 0: 𝛼, 𝛽, 𝜆

Raízes de 𝑥³ + 𝑏𝑥 + 12 = 0: 𝛼, 𝛽, 𝜆

Resolvendo o sistema:

(𝐼𝑉) − (𝐼):

𝜆 − 𝛾 = 𝑎 (𝑉𝐼𝐼)

(𝑉) − (𝐼𝐼):

(𝛼 + 𝛽)(𝜆 − 𝛾) = 𝑏 (𝑉𝐼𝐼𝐼)

(𝐼𝐼𝐼) ÷ (𝑉𝐼):

Substituindo (𝐼𝑋) em (𝑉𝐼𝐼):

De (𝐼𝑉), temos 𝛼 + 𝛽 = −𝜆 = 2𝑎. Usando a relação (𝑉𝐼𝐼𝐼):

Agora, temos uma relação para 𝜆 e 𝑏.

Lembrando que 𝜆 é uma raiz de 𝑥³ + 𝑏𝑥 + 12 = 0, temos:

De (𝑋𝐼):

Para 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2, obtemos das relações anteriores:

𝜆 = −2𝑎 = −2

Desse modo, as equações iniciais são dadas por:

𝑥³ + 𝑎𝑥² + 18 = 0 ⇒ 𝑥³ + 𝑥² + 18 = 0 (𝑋𝐼𝐼)

𝑥³ + 𝑏𝑥 + 12 = 0 ⇒ 𝑥³ + 2𝑥 + 12 = 0 (𝑋𝐼𝐼𝐼)

Subtraindo essas equações, obtemos a seguinte equação do segundo grau:

(𝑋𝐼𝐼) − (𝑋𝐼𝐼𝐼): 𝑥² − 2𝑥 + 6 = 0

As raízes dessa equação serão as raízes comuns 𝛼 e 𝛽. Vamos encontrar as raízes:

Portanto, 𝛼 e 𝛽 são dadas por:

𝛼 = 1 − 𝑖√5

𝛽 = 1 + 𝑖√5