ALTERNATIVA CORRETA: D

Calculemos nossa expressão, tirando o MMC e manipulando a seguinte parte:

1 / 2 − 𝑢 + 1 / 2 − 𝑣 + 1 / 2 − 𝑤 = (2 − 𝑣)(2 − 𝑤) + (2 − 𝑢)(2 − 𝑤) + (2 − 𝑢)(2 − 𝑣) / (2 − 𝑢)(2 − 𝑣)(2 − 𝑤)

= 12 − 2(𝑣 + 𝑤) + 𝑣𝑤 − 2(𝑢 + 𝑤) + 𝑢𝑤 − 2(𝑢 + 𝑣) + 𝑢𝑣 / (2 − 𝑢)(2 − 𝑣)(2 − 𝑤) = 12 − 4(𝑢 + 𝑣 + 𝑤) + (𝑢𝑣 + 𝑢𝑤 + 𝑣𝑤) / (2 − 𝑢)(2 − 𝑣)(2 − 𝑤)

Mas veja que o numerador da última expressão deduzida acima a gente sabe calcular, por meio das relações de Girard. A soma das raízes é:

𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = − [𝑥²] [𝑥³] = − −8/1 = 8

E a soma do produto dois a dois:

𝑢𝑣 + 𝑢𝑤 + 𝑣𝑤 = [𝑥]/[𝑥³] = 26

Portanto, o numerador da expressão é: 12 − 4 ⋅ 8 + 26 = 6. Para calcular o denominador, basta nos lembrarmos que, pelo teorema fundamental da álgebra, o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥³ − 8𝑥² + 26𝑥 − 18 pode ser escrita na sua forma fatorada usando suas raízes 𝑢, 𝑣, 𝑤 como:

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑢)(𝑥 − 𝑣)(𝑥 − 𝑤)

Assim, o denominador é exatamente 𝑝(2) = (2 − 𝑢)(2 − 𝑣)(2 − 𝑤). Calculando 𝑝(2):

𝑝(2) = 2³ − 8 ⋅ 2² + 26 ⋅ 2 − 18 = 10

Portanto, nossa expressão é:

1 / 2 − 𝑢 + 1 / 2 − 𝑣 + 1 / 2 − 𝑤 = 6/10 = 3/5

Portanto, é pedido:

𝐸 = 10 ⋅ (1 / 2 − 𝑢 + 1 / 2 − 𝑣 + 1 / 2 − 𝑤) = 10 ⋅ 3/5 = 6