GABARITO: ALTERNATIVA C.

Pelo cosseno da soma: 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝝅/𝟔 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜋/6 − 𝑚. 𝑠𝑒𝑛²𝑥 = 0

Pelas fórmulas de arco duplo e pelos valores de 𝝅/𝟔:

(𝐜𝐨𝐬² 𝒙− 𝒔𝒆𝒏²𝒙). √𝟑/𝟐 − 𝟐. 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 . 𝟏/𝟐 − 𝒎. 𝒔𝒆𝒏²𝒙 = 𝟎

Agrupando os 𝒔𝒆𝒏²𝒙 e invertendo os lados:

(𝒎 + √𝟑/𝟐) 𝒔𝒆𝒏²𝒙 +𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − √𝟑/𝟐 𝐜𝐨𝐬² 𝒙 = 𝟎

Para 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟎, 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔: (𝒎 + √𝟑/𝟐) 𝒔𝒆𝒏²𝒙 = 𝟎, como 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ≠ 𝟎 → 𝒎 = − √𝟑/𝟐

Para 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒏𝒅𝒐 − 𝒔𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝐜𝐨𝐬² 𝒙, 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔:

(𝒎 + √𝟑/𝟐) 𝒕𝒈²𝒙 + 𝐭𝐠 𝒙 − √𝟑/𝟐 = 𝟎, 𝒔𝒆𝒋𝒂 𝒕𝒈 𝒙 = 𝒚

(𝒎 + √𝟑/𝟐) 𝒚² + 𝒚 − √𝟑/𝟐 = 𝟎

Existem 2 possibilidades para que essa equação tenha uma única raiz:

1) Ser uma equação do 1º grau: 𝑚 = − √3/2 → 𝑦 = √3/2 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒)

2) Ser um quadrado perfeito, ou seja, ∆= 0 → 1 − 4. (𝑚 + √3/2) . √3/2 = 0

𝑚 + √3/2 = √3/6

Quando isso acontece, a raiz é:

(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜)