GABARITO: ALTERNATIVA C.

Suponha que (√5−1)/2 seja uma raiz de uma equação do segundo grau. Então

𝑥 = (√5− 1)/2 ⟹ 2𝑥 = √5 −1 ⟹ 2𝑥 −1 = √5

Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado teremos:

(2𝑥 − 1)² = (√5)² ⟹ (2𝑥)² − 2 ∙ 2𝑥 ∙ 1 + (1)² = (√5)² ⟹ 4𝑥² − 4𝑥 + 1 = 5

⟹ 4𝑥² − 4𝑥 −4 = 0, dividindo a equação toda por 4 temos: 𝑥² −𝑥 − 1 = 0

Lembre-se se que 𝑥 é o valor da potência que queremos encontrar.

Se 𝑥² −𝑥 − 1 = 0 então 𝑥² = 𝑥 + 1

𝑥² = 𝑥 + 1 (multiplicando ambos os lados da igualdade por 𝑥)

𝑥³ = 𝑥² + 𝑥 (Lembre-se de que já temos o valor de 𝑥² que é 𝑥 + 1

𝑥³ = (𝑥 + 1)+ 𝑥 = 2𝑥 +1

𝑥³ = 2𝑥 + 1 (Como queremos encontrar 𝑥⁵ basta multiplicarmos os dois lados dessa equação por 𝑥²

𝑥²∙ 𝑥³ = (2𝑥 + 1) ∙ 𝑥² ⟹ 𝑥⁵ = 2𝑥³ +𝑥²

(substituindo os valores de 𝑥³ e 𝑥² que já encontramos teremos que:

𝑥⁵ = 2 ∙ (2𝑥 + 1)+ ( 𝑥 + 1) ⟹ 𝑥⁵ = 4𝑥 + 2 + 𝑥 + 1 ⟹ 𝑥⁵ = 5𝑥 + 3

Substituindo o valor de 𝑥 por (√5−1)/2 teremos:

𝑥⁵ = 5𝑥 + 3 ⟹ 𝑥⁵ = 5 ∙ ((√5− 1)/2) + 3 = (5√5 − 5)/2 + 3 = (5√5− 5 + 6)/2 = (5√5 + 1)/2

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𝑥⁵ = (5√5 +1)/2