GABARITO: 𝒎 = 𝟑𝒏 + 𝟏, com 𝒏 inteiro ímpar positivo, se 𝒂 ≠ 𝟎 e 𝒎 ≥ 𝟎 𝒆 𝒎 ≥ 𝟑𝒏 se 𝒂 = 𝟎.

Ser divisível por 𝑥 + 𝑎 é equivalente a dizer que −𝑎 é sua raiz. Disso, temos que:

2(−𝑎)ᵐ + 𝑎³ⁿ (−𝑎)ᵐ⁻³ⁿ − 𝑎ᵐ = 0

Ou ainda:

2(−1)ᵐ𝑎ᵐ + 𝑎³ⁿ(−1)ᵐ⁻³ⁿ𝑎ᵐ⁻³ⁿ − 𝑎ᵐ = 0

Se 𝑎 = 0, isso é válido para todo 𝑚 e 𝑛 tais que:

𝑚 ≥ 0

Pois os expoentes de um polinômio são positivos ou nulos e ainda:

𝑚 ≥ 3𝑛

Pelo mesmo motivo.

Se 𝑎 ≠ 0, temos que:

2(−1)ᵐ𝑎ᵐ + 𝑎³ⁿ(−1)ᵐ⁻³ⁿ𝑎ᵐ⁻³ⁿ − 𝑎ᵐ = 0 ⇒ 2(−1)ᵐ + (−1)ᵐ⁻³ⁿ = 1

Suponha que 𝑚 é ímpar. Então:

(−1)ᵐ = −1

Ou seja:

−2 + (−1)ᵐ⁻³ⁿ = 1 ⇒ (−1)ᵐ⁻³ⁿ = 3

O que é absurdo, pois o lado esquerdo da equação vale ±1.

Suponha, então, 𝑚 par. Logo:

(−1)𝑚 = 1

Do que temos:

2 + (−1)ᵐ⁻³ⁿ = 1 ⇒ (−1)ᵐ⁻³ⁿ = (−1)¹

Ou seja:

𝑚 − 3𝑛 = 1 ⇒ 𝑚 = 3𝑛 + 1

Note que, se 𝑛 é par, 𝑚 é ímpar. Logo, 𝑛 é um inteiro ímpar qualquer e 𝑚 é tal que:

𝑚 = 3𝑛 + 1

Perceba, ainda, que 𝑚 ≥ 0, pois os expoentes de um polinômio são sempre positivos ou nulos. Disso:

𝑚 ≥ 0 ⇒ 3𝑛 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝑛 ≥ − 1/3

Mas 𝑛 é inteiro, logo:

𝑛 ≥ 0

Por fim:

𝑚 = 3𝑛 + 1

Com 𝑛 inteiro ímpar positivo.