GABARITO: DISCURSIVA

Vamos dividir o problema em casos.

Para 𝒙 ≥ 𝒂:

(𝒙 − 𝟏)² = 𝒙 − 𝒂

Desenvolvendo, obtemos a equação:

𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − 𝒂

𝒙² − 𝟑𝒙 + 𝒂 + 𝟏 = 𝟎 (𝑰)

Encontrando as raízes:

Para 𝒙 < 𝒂:

(𝒙 − 𝟏)² = −𝒙 + 𝒂

𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟏 = −𝒙 + 𝒂

𝒙² − 𝒙 + 𝟏 − 𝒂 = 𝟎 (𝑰𝑰)

Encontrando as raízes:

Para termos exatamente 3 raízes, temos 3 casos:

1) Raiz única na equação (𝑰).

2) Raiz única na equação (𝑰𝑰).

3) Uma das raízes das equações (𝑰) e (𝑰𝑰) são semelhantes.

Vamos resolver para cada caso:

1) Devemos ter 𝚫 = 𝟎:

𝒙² − 𝟑𝒙 + 𝒂 + 𝟏 = 𝟎 (𝑰)

𝚫 = 𝟗 − 𝟒(𝒂 + 𝟏) = 𝟓 − 𝟒𝒂 = 𝟎

⇒ 𝒂 = 𝟓/𝟒

2) 𝚫 = 𝟎:

𝒙² − 𝒙 + 𝟏 − 𝒂 = 𝟎 (𝑰𝑰)

𝚫 = 𝟏 − 𝟒(𝟏 − 𝒂) = 𝟒𝒂 − 𝟑 = 𝟎

⇒ 𝒂 = 𝟑/𝟒

3) A maior raiz da equação 𝑰𝑰 deve ser igual à menor raiz da equação 𝑰:

Maior raiz da equação 𝑰𝑰:

Menor raiz da equação 𝑰:

Igualando 𝒙₂ = 𝒙₃:

Elevando ao quadrado:

Portanto, os valores de 𝒂 são: