GABARITO: DISCURSIVA

Considerando 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ ℕ.

A questão nos dá uma equação e pede para encontrar 3 variáveis. Vamos tentar encontrar alguma relação com a equação dada:

35𝑝 + 11𝑝𝑞 + 𝑞𝑟 = 𝑝𝑞𝑟

Perceba a presença do número 𝑝 na equação:

35𝑝 + 11𝑝𝑞 + 𝑞𝑟 = 𝑝𝑞𝑟

Vamos dividir a equação por 𝑝:

O enunciado pede para encontrar 𝑝, 𝑞, 𝑟 primos. Analisando a expressão 𝑞𝑟 − 35 − 11𝑞, vemos que se trata de um número inteiro. Desse modo, podemos afirmar que

também deve ser inteiro. Assim:

𝑝|𝑞𝑟

𝑝 deve dividir 𝑞𝑟

Sendo todos primos, temos apenas duas possibilidades:

1) 𝑝 = 𝑞

2) 𝑝 = 𝑟

Vamos testar as possibilidades:

1) 𝑝 = 𝑞:

35𝑝 + 11𝑝𝑞 + 𝑞𝑟 = 𝑝𝑞𝑟

35𝑞 + 11𝑞² + 𝑞𝑟 = 𝑞²𝑟

𝑞(35 + 11𝑞 + 𝑟) = 𝑞(𝑞𝑟)

𝑞 ≠ 0, pois 𝑞 é primo.

35 + 11𝑞 + 𝑟 = 𝑞𝑟

𝑟 + 35 = 𝑞𝑟 − 11𝑞

𝑟 + 35 = 𝑞(𝑟 − 11)

Dessa equação, temos 2 possibilidades:

*Ainda não vimos como resolver equações racionais, veremos na aula de funções racionais. Por enquanto saiba que antes de isolar 𝑞, devemos considerar a possibilidade de 𝑟 − 11 ser zero.

𝑟 − 11 = 0

Ou

Se 𝑟 − 11 = 0:

𝑟 = 11

Para a equação ser verdadeira, 𝑞(𝑟 − 11) = 𝑟 + 35 = 0:

𝑟 = −35 ≠ 11

Desse modo 𝑟 ≠ 11:

𝑞 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 ⇒ 𝑟 − 11 divide 46

Como 𝑞 é primo natural,

deve ser positivo (caso contrário,

seria negativo).

Assim, 𝑟 − 11 é positivo e deve pertencer ao conjunto de divisores de 46:

𝑟 − 11 ∈ {1, 2, 23, 46}

Possibilidades:

𝑟 − 11 = 1 ⇔ 𝑟 = 12 𝑛ã𝑜 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 − 11 = 2 ⇔ 𝑟 = 13 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 − 11 = 23 ⇔ 𝑟 = 34 𝑛ã𝑜 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 − 11 = 46 ⇔ 𝑟 = 57 𝑛ã𝑜 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

Assim, a única possibilidade é 𝑟 = 13. Substituindo na equação abaixo:

Portanto, não temos solução para o caro 𝑝 = 𝑞. Vamos tentar a outra possibilidade.

2) 𝑝 = 𝑟:

35𝑝 + 11𝑝𝑞 + 𝑞𝑟 = 𝑝𝑞𝑟

35𝑟 + 11𝑞𝑟 + 𝑞𝑟 = 𝑞𝑟²

𝑟(35 + 12𝑞) = (𝑞𝑟)𝑟

𝑟 ≠ 0, pois 𝑟 é primo.

𝑟 − 12 = 1 ⇔ 𝑟 = 13 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 − 12 = 5 ⇔ 𝑟 = 17 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 − 12 = 7 ⇔ 𝑟 = 19 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 − 12 = 35 ⇔ 𝑟 = 47 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

Testando os valores:

𝑟 = 13 ⇒ 𝑞 = 35/1 = 35 𝑛ã𝑜 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 = 17 ⇒ 𝑞 = 35/5 = 7 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 = 19 ⇔ 𝑞 = 35/7 = 5 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑟 = 47 ⇔ 𝑞 = 35/35 = 1 𝑛ã𝑜 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

Portanto, encontramos 2 soluções:

(𝑝, 𝑞, 𝑟) = (17, 7, 17) e (𝑝, 𝑞, 𝑟) = (19, 5, 19)

Gabarito: (𝒑, 𝒒, 𝒓) = (𝟏𝟕, 𝟕, 𝟏𝟕) 𝒆 (𝒑, 𝒒, 𝒓) = (𝟏𝟗, 𝟓, 𝟏𝟗)