GABARITO: DISCURSIVA

Vamos verificar as condições de existência da função 𝑓:

Analisando cada restrição, temos:

I) 4𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 > 0

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 1 > 0

𝑠𝑒𝑛(2𝑥) > 1/2

𝜋/6 + 2𝑘𝜋 < 2𝑥 < 5𝜋/6 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

⇒ 𝜋/12 + 𝑘𝜋 < 𝑥 < 5𝜋/12 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

II) 𝑥 (𝜋/4 − 𝑥) > 0

⇒ 0 < 𝑥 < 𝜋/4

III) 𝑥(𝜋/4 − 𝑥) ≠ 1

Desenvolvendo a equação:

−𝑥² + 𝜋𝑥 − 4 ≠ 0

Verificando o discriminante:

Δ = 𝜋² − 16 < 0

Logo, a equação não possui raízes e por isso é diferente de zero para qualquer valor de 𝑥.

Fazendo a intersecção dos resultados:

𝜋/12 + 𝑘𝜋 < 𝑥 < 5𝜋/12 + 𝑘𝜋 𝑒 0 < 𝑥 < 𝜋/4

⇒𝜋/12 < 𝑥 < 𝜋/4

Dessa forma, o maior domínio da função é dada por:

𝐷 = (𝜋/12, 𝜋/4)

Gabarito: 𝐷 = (𝜋/12, 𝜋/4)