GABARITO: ALTERNATIVA C

Analisando os intervalos presentes nos módulos mais internos da expressão:

i) 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 2:

Nesse primeiro caso em que 𝑥 ≥ 2 ⇒ |𝑥 + 2| = 𝑥 + 2. Daí, na expressão de 𝑓(𝑥):

𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2 − (𝑥 − 2)| = |2 + 2| = 4

⇒ 𝑓(𝑥) = 4 ∀ 𝑥 ≥ 2

ii) −2 ≤ 𝑥 < 2

Nesse segundo caso, |𝑥 + 2| = 𝑥 + 2, mas |𝑥 − 2| = −(𝑥 − 2) = 2 − 𝑥𝑥. Daí, em 𝑓(𝑥):

𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2 + 𝑥 − 2| = |2𝑥|

⇒ 𝑓(𝑥) = |2𝑥𝑥| ∀ − 2 ≤ 𝑥 < 2

iii) 𝑥 + 2 < 0 ⇒ 𝑥 < −2

Nesse último caso, |𝑥𝑥 + 2| = −(𝑥 + 2) e |𝑥 − 2| = −(𝑥 − 2) = 2 − 𝑥. Daí, em 𝑓(𝑥):

𝑓(𝑥) = |−(𝑥 + 2) + 𝑥 − 2| = |−4| = 4

⇒ 𝑓(𝑥) = 4 ∀ 𝑥 < −2

Portanto, a imagem de 𝑓 é 4 para 𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2 e, para −2 < 𝑥 < 2 a imagem é |2x|, o que significa que varia de 0 a 4 no eixo real das ordenadas. Portanto, a imagem de 𝑓 é:

𝐼m(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑦 ≤ 4}

Gabarito: “c”