GABARITO: Á𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 = 𝟗𝝅/𝟒 − 𝟑/𝟐.

Observe que a primeira equação representa duas retas, pois ela implica:

𝑦 − 𝑥 − 2 = 0 𝑜𝑢 𝑦 + 𝑥/2 − 2 = 0

Vamos investigar a segunda equação. Observe que ela parece muito com uma equação de circunferência. Vamos tentar representá-la na forma:

Para isso, vamos completar os quadrados:

𝑥² − 2𝑥 + 𝑦² − 8 = 0 ⇒ (𝑥² − 2𝑥 + 1) − 1 + 𝑦² − 8 = 0

Logo:

(𝑥 − 1)² + 𝑦² = 9 = (3)²

Assim, observamos que de fato temos uma circunferência, de raio 𝑟 = 3 e centro 𝐶 = (1,0).

O próximo passo é representar as curvas em um plano cartesiano. Observe abaixo:

Do diagrama acima, temos três pontos de intersecção importantes:

1º) Entre as retas (𝐶);

2º) Entre a reta 𝑦 + 𝑥/2 − 2 = 0 e a circunferência (𝐵);

3º) Entre a reta 𝑦 − 𝑥 − 2 = 0 e a circunferência (𝐴).

O ponto de intersecção das retas, pelo próprio diagrama, é o ponto 𝐶 = (0,2), obtido fazendo-se 𝑥 = 0 na equação das retas. O ponto 𝐵 também pode ser obtido facilmente observando-se que, pra 𝑦 = 0 temos 𝑥 = 4, o qual corresponde ao ponto mais extremo da circunferência. Ou seja, 𝐵 = (4,0). Para encontrar o ponto 𝐴, isole 𝑦 na equação da reta:

𝑦 = 𝑥 + 2

E substitua na equação da circunferência:

(𝑥 − 1)² + (𝑥 + 2)² = 9 ⇒ 2𝑥² + 2𝑥 − 4 = 0

Resolvendo para x, obtemos 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −2. Mas 𝐴 pertence ao primeiro quadrante, ou seja, 𝑥 > 0. Logo, 𝑥 = 1. Assim, 𝑦 = 𝑥 + 2 = 1 + 2 = 3. Por fim, 𝐴 = (1,3).

De posse dos pontos, podemos calcular a área hachurada na figura abaixo, observe:

Note que 𝑂, centro da circunferência, está na mesma vertical que o ponto 𝐴.

Para calcular a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶, podemos usar a seguinte equação, do estudo da geometria analítica:

Para calcular a área restante, perceba que ela corresponde à área de um quarto da circunferência subtraída da área do triângulo retângulo Δ𝐴𝐵𝑂. Assim:

Do que segue que:

𝐴₂ = 9𝜋/4 − 9/2

Finalmente, a área pedida:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 9𝜋/4 − 9/2 + 3 = 9𝜋/4 − 3/2