GABARITO: ALTERNATIVA D

Pela fórmula do Princípio da Inclusão e Exclusão, temos para 3 conjuntos:

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) (𝑖)

O enunciado da questão nos dá os valores de 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) e 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) e pede para encontrar 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶).

Precisamos encontrar uma relação para 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) 𝑒 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶).

Vamos usar a fórmula para 2 conjuntos:

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

Isolando 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵):

𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)

Do enunciado 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 8:

𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 8 (𝑖𝑖)

Usando a mesma ideia para 𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) 𝑒 𝑛(𝐵 ∪ 𝐶):

𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶)

𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∪ 𝐶)

𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) = 9

𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐶) − 9 (𝑖𝑖𝑖)

𝑛(𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶)

𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐵 ∪ 𝐶)

𝑛(𝐵 ∪ 𝐶) = 10

𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 10 (𝑖𝑣)

Juntando (ii), (iii), (iv) em (i) e usando 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 11 𝑒 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 2:

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

11 = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − [𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 8] − [𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐶) − 9] − [𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 10] + 2

11 = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐵) + 8 − 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐶) + 9 − 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐶) + 10 + 2

11 = 29 − 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐶)

𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) = 29 − 11 = 18