GABARITO: ALTERNATIVA C

Veja a situação representada abaixo:

Vamos denotar a área de um triângulo como segue:

Área do ΔABC = S(ABC)

Como ΔACM e ΔAMB possuem mesma altura e bases iguais, suas áreas são iguais. Mas:

S(ACM) + S(AMB) = 72 ⇒ A(ACM) = S(AMB) = 36

Aplicando o teorema de Menelaus ao triângulo QCM, temos:

BC/BM ∙ MP/PQ ∙ QE/EC = 1 ⇒ 2 ∙ 1/2 ∙ QE/EC = 1 ⇒ QE = EC

Como os triângulos MQC e QCA possuem mesma altura em relação à base AM, temos que suas áreas obedecem a relação:

S(MQC)/S(QCA) = MQ/QA = 9/3 ⇒ S(MQC) = 3S(QCA)

Mas S(MQC) + S(QCA) = S(ACM) = 36 ⇒ 3S(QCA) + S(QCA) = 36 ⇒ S(QCA) = 9

Ou seja, S(MQC) = 27.

Os triângulos ABP e PBM possuem mesma altura em relação à base AM, perceba que a razão entre suas áreas e a soma entre suas áreas é a mesma dos triângulos MQC e QCA, de modo que:

S(PBM) = 9 e S(APB) = 27

Além disso, os triângulos CPM e PMB possuem mesma altura em relação à base BC e bases iguais, de modo que suas áreas também são iguais:

S(CPM) = S(PBM) = 9

Veja que:

S(QCP) = S(QCM) - Q(CPM) = 27 - 9 = 18

Por fim, veja que os triângulos QPE e EPC possuem mesma base e mesma altura em relação à base CQ, de modo que suas áreas são iguais. Mas:

S(QEP) + S(EPC) = 18 ⇒ S(EPC) = S(QEP) = 18/2 = 9