GABARITO: ALTERNATIVA B

Primeiramente, vamos calcular a quantidade de divisores positivos de 1260, usando a fórmula já conhecida:

1260 = 2² . 3² . 5¹ . 7¹

Logo,

𝐷(1260) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1)

𝐷(1260) = 36

Com isso vemos que 1260 possui 36 divisores positivos.

Para um desses divisores ser múltiplo de 2 ou de 3, eles precisam ter ao menos um desses fatores primos em sua decomposição.

Veja que todo divisor de 1260 é da forma

, com as seguintes restrições:

0 ≤ 𝑥 ≤ 2 → 3 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

0 ≤ 𝑦 ≤ 2 → 3 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

0 ≤ 𝑧 ≤ 1 → 2 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

0 ≤ 𝑤 ≤ 1 → 2 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

Logo, vamos dividir o problema em 3 casos:

O divisor de 1260 é múltiplo de 2

O divisor de 1260 é múltiplo de 3

O divisor de 1260 é múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo tempo, ou seja, múltiplo de 6

Para o primeiro caso, temos que x precisa ser 1 ou 2, logo, temos 2 possibilidades para a escolha do expoente do 2, enquanto o resto segue normal, logo:

𝑁₂ = (2) . 3 . 2 . 2 = 24

Analogamente, para o segundo caso, o número de divisores múltiplos de 3 é:

𝑁₃ = 3 . (2) . 2 . 2 = 24

Para o terceiro caso, o número de divisores múltiplos de 6 é:

𝑁₆ = (2) . (2) . 2 . 2 = 16

Com isso, da teoria de conjuntos, a união dos conjuntos dos divisores múltiplos de 2 com os conjuntos múltiplos de 3 é:

𝑛(𝑁₂ ∪ 𝑁₃) = 𝑛(𝑁₂) + 𝑛(𝑁₃) − 𝑛(𝑁₂ ∩ 𝑁₃)

𝑛(𝑁₂ ∪ 𝑁₃) = 24 + 24 − 16 = 32

Lembre-se de subtrair a interseção para não contar casos repetidos.

Portanto, existem 32 divisores que satisfazem a condição pedida, então a probabilidade é: