GABARITO: ALTERNATIVA C

Como o cubo tem 6 faces, e cada vértice desse poliedro de Platão é o centro de cada face, então o poliedro de Platão terá 6 vértices. Se formos desenhar essa figura, perceba que teremos dois vértices em faces opostas do cubo, e 4 vértices contidos no plano de simetria do cubo (que é paralelo às bases opostas), formando um quadrado.

Como a distância de um vértice qualquer a outro vértice vizinho é a mesma para todos (chamaremos de 𝑙), então nosso sólido inscrito no quadrado será um octaedro regular. No plano de simetria do cubo paralelo às bases opostas, veja que os 4 vértices do octaedro formarão um quadrado cujo lado é a distância entre os centros dos cubos. Isso pode ser facilmente calculado por Pitágoras:

Sendo assim, dividindo o octaedro em duas pirâmides quadrangulares regulares, podemos calcular o seu volume a partir dessas pirâmides. Cada pirâmide possui base quadrada de lado 𝑙 e, por simetria, a altura de cada uma delas é a metade da altura do cubo. Logo:

Logo, o volume do octaedro é: