GABARITO: ALTERNATIVA C

I. Temos da afirmação (𝑝 ∈ 𝕀) ∨ (𝑞 ∈ 𝕀) → 𝑎 ∈ 𝕀. Usando sua contrapositiva:

~(𝑎 ∈ 𝕀) → ~[(𝑝 ∈ 𝕀) ∨ (𝑞 ∈ 𝕀)]

~(𝑎 ∈ 𝕀) → ~(𝑝 ∈ 𝕀) ∧ ~(𝑞 ∈ 𝕀)

𝑎 ∈ ℚ → (𝑝 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ)

Assim, temos que verificar se 𝑎 ∈ ℚ implica que 𝑝 ∈ ℚ e 𝑞 ∈ ℚ. Como 𝑎 ∈ ℚ, temos 𝑎² ∈ ℚ e 𝑎³ ∈ ℚ, logo, 𝑝 = 𝑎 + 𝑎² ∈ ℚ e 𝑞 = 𝑎 + 𝑎³ ∈ ℚ. Portanto, afirmação verdadeira.

II. Multiplicando-se 𝑝 por 𝑎, temos:

𝑎𝑝 = 𝑎² + 𝑎³

Podemos escrever 𝑎² e 𝑎³ como:

𝑝 = 𝑎 + 𝑎² ⇒ 𝑎² = 𝑝 − 𝑎

𝑞 = 𝑎 + 𝑎³ ⇒ 𝑎³ = 𝑞 − 𝑎

Substituindo em 𝑎𝑝:

𝑎𝑝 = 𝑝 − 𝑎 + 𝑞 − 𝑎 ⇒ 𝑎𝑝 + 2𝑎 = 𝑝 + 𝑞 ⇒ (𝑝 + 2)𝑎 = 𝑝 + 𝑞

Para 𝑝 ≠ −2:

Se 𝑝, 𝑞 ∈ ℚ, temos que ∈ ℚ, logo, 𝑎 ∈ ℚ.

Para 𝑝 = −2:

−2 = 𝑎 + 𝑎² ⇒ 𝑎² + 𝑎 + 2 = 0 ⇒ Δ = 1² − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1 − 8 = −7 < 0

Portanto, 𝑎 ∉ ℝ, logo, não é possível.

Concluímos que a afirmação é verdadeira.

III. Tomemos o seguinte contraexemplo:

Portanto, afirmação falsa.