GABARITO: ALTERNATIVA D

A questão propositalmente não diz qual o conceito de matriz idempotente, então precisamos defini-la. Se 𝐴𝑛𝑥𝑛 é idempotente, vale que:

𝐴² = 𝐴

Sabendo disso, podemos analisar as assertivas.

I. Verdadeira

Sabemos que det(𝐴. 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝑑𝑒𝑡𝐵

Assim, fica claro que:

𝑑𝑒𝑡𝐴 = (𝑑𝑒𝑡𝐴)² ≥ 0

𝑑𝑒𝑡𝐴 ≥ 0

II. Falsa

Utilizando a equação supracitada:

𝑑𝑒𝑡𝐴 = (𝑑𝑒𝑡𝐴)²

Para 𝐴 invertível, vale que 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0, assim podemos dividir ambos os lados da equação por 𝑑𝑒𝑡𝐴, obtendo:

𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1

Como 𝐴 é uma matriz 𝑛𝑥𝑛, vale a relação:

det(𝑘. 𝐴) = 𝑘ⁿ𝑑𝑒𝑡𝐴

Daí:

det(𝑘. 𝐴) = 𝑘ⁿ

III. Verdadeira

Para resolver esse item, precisamos fazer operações elementares para tentar obter informações sobre a matriz (𝐼ₙ − 𝐴). Façamos:

(𝐼ₙ − 𝐴)² = 𝐼ₙ − 2𝐴 + 𝐴²

Porém 𝐴² = 𝐴 (propriedade de matrizes idempotentes)

(𝐼ₙ − 𝐴)² = 𝐼ₙ − 2𝐴 + 𝐴

(𝐼ₙ − 𝐴)² = 𝐼ₙ − 𝐴

𝐼ₙ − 𝐴 é idempotente.