GABARITO: ALTERNATIVA A

Fazendo o desenho do descrito no enunciado:

Sabemos que, ao traçar as medianas de um triângulo, elas se cruzam em um ponto G denominado baricentro do

triângulo, e elas formam 6 triângulos de áreas iguais.

Para provar isso, basta ver que as áreas [CGN] e [BGN] são iguais (pois as bases são iguais: CN = NB) e a altura

relativa à base deles também é igual (altura de G em relação à reta BC). Logo, [CGN] = [BGN] = z. O mesmo pode ser

analisado para os demais triângulos: [APG] = [CPG] = x, e [AGM] = [BGM] = y.

Por outro lado, a área dos triângulos ACN e ABN tem que ser iguais também, pois possuem bases iguais (CN=NB)

e alturas iguais (distância de A até a reta BC). Logo, escrevendo essa igualdade:

[ACN] = [ABN] ⇒ [CGN] + [APG] + [CPG] = [BGN] +[AGM] + [BGM] ⇒ z + 2x = z + 2y

⇒ x = y ⇒ [APG] = [CPG] = [AGM] = [BGM]

Para provar que z = y e concluir que todos tem mesma área, é análogo, basta fazer com os triângulos BAP e BCP,

cujas áreas são iguais também.

Logo, temos 6 triângulos de áreas iguais que formam o triângulo ABC. Como o quadrilátero MGPA é formado por 2

desses triângulos, a razão de sua área em relação à área de ABC é: